一、知识铺垫
1、什么是极限思想
所谓极限的思想,是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。如一条船顺水而下用时t1,逆流而上用时t2,则当水速增大时,t1+t2如何变化?当水速增大时,t1会变小,而t2会变大,但是,t1与t2,哪个变化大不知道,所以t1+t2如何变化也不清楚。此时如果改用极限的思想来思考的话就会比较简单,假设水速增大到无限大,则此船肯定回不来了,即t2无限大,此时虽然t1变小,但相对于t2而言,t1的变化幅度要小得多。所以,t1+t2变大了。
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2、适用极限思想的题的题型特征
题干或问法中出现最大或最小、最多或最少、至多或至少。
3、极限思想的核心:凑、均、等、接近
二、极限思想之一元二次函数求最值的应用
一元二次函数的基本形式是
(当a>0时,y有最小值,当a<0时,y有最大值)。当x=
时,y取到最值,将x代入函数式求得具体的最值。
1、如何理解“均”:
(1)根据数论知识知道,任何一元二次多项式均可以写成两个一次因式的乘积的形式,再通过正、负号以及系数的变形,两个一次因式中的未知量可以在二者作和中消去,这时,和就是一个具体的数。那么,问题就转化成:两个和一定的数,求乘积的值。接下来只需要依照均值不等式原理即可求出最大值或最小值。
(2)通过函数图像理解。一元二次函数的图像为轴对称(对称轴与y轴平行)图形,在与对称轴的交点处函数有最值。图像与x轴的交点即为一元二次函数的两个x值,对应y值为函数值。显然,这两个x值关于对称轴对称,当x轴上下平行移动时,所产生的两个x值的和一定,当两x值相等时,即到最值点处,对应y值为最大值或最小值。
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