实对称矩阵是一种很特殊的矩阵,在相似对角化和二次型中起到承上启下的作用。考试中会以小题形式单独考察,大约5分左右,更多是结合二次型去考察,要求熟练掌握实对称矩阵的性质和正交相似对角化的方法。
由于实对称矩阵为矩阵中的一种,所以矩阵的特征值、特征向量、相似对角化的所有性质实对称矩阵仍成立,重点学习实对称矩阵特有的性质,无需证明,记住即可:
定理1:A的所有特征值均为实数。
定理2:A属于不同特征值的特征向量必正交。
我们可以先回顾一下普通矩阵对应的性质:不同特征值对应特征向量线性无关,而现在实对称矩阵不同特征值对应特征向量正交,线性无关和正交的关系是什么呢? 正交的向量组一定线性无关,而线性无关的向量组并不一定正交,故实对称矩阵条件更高。

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