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2018考研数学冲刺复习进行中,下面整理分享2018考研数学冲刺重点:矩阵相似对角化要点及技巧,帮助大家更好的复习!
2018考研数学冲刺复习,需要不断回顾课本、复习错题,对重要知识点需要一再巩固,今天为大家整理了考研数学看考点:矩阵相似对角化要点及技巧,希望可以帮到你。
矩阵的相似对角化是考研的重要考点,该部分内容既可以出大题,也可以出小题。所以同学们须学会如何判断一个矩阵可对角化,现把该部分的知识点总结如下:
★一般方阵的相似对角化理论
这里要求掌握一般矩阵相似对角化的条件,会判断给定的矩阵是否可以相似对角化,另外还要会矩阵相似对角化的计算问题,会求可逆阵以及对角阵。事实上,矩阵相似对角化之后还有一些应用,主要体现在矩阵行列式的计算或者求矩阵的方幂上,这些应用在历年试题中都有不同的体现。
1、判断方阵是否可相似对角化的条件:
(1)充要条件:An可相似对角化的充要条件是:An有n个线性无关的特征向量;
(2)充要条件的另一种形式:An可相似对角化的充要条件是:An的k重特征值满足n-r(λE-A)=k
(3)充分条件:如果An的n个特征值两两不同,那么An一定可以相似对角化;
(4)充分条件:如果An是实对称矩阵,那么An一定可以相似对角化。
【注】分析方阵是否可以相似对角化,关键是看线性无关的特征向量的个数,而求特征向量之前,须先求出特征值。
2、求方阵的特征值:
(1)具体矩阵的特征值:
这里的难点在于特征行列式的计算:方法是先利用行列式的性质在行列式中制造出两个0,然后利用行列式的展开定理计算;
(2)抽象矩阵的特征值:
抽象矩阵的特征值,往往要根据题中条件构造特征值的定义式来求,灵活性较大。
★实对称矩阵的相似对角化理论
其实质还是矩阵的相似对角化问题,与一般方阵不同的是求得的可逆阵为正交阵。这里要求大家除了掌握实对称矩阵的正交相似对角化外,还要掌握实对称矩阵的特征值与特征向量的性质,在考试的时候会经常用到这些考点的。
这块的知识出题比较灵活,可直接出题,即给定一个实对称矩阵A,让求正交阵使得该矩阵正交相似于对角阵;也可以根据矩阵A的特征值、特征向量来确定矩阵A中的参数或者确定矩阵A;另外由于实对称矩阵不同特征值的特征向量是相互正交的,这样还可以由已知特征值的特征向量确定出对应的特征向量,从而确定出矩阵A。
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