在线性代数这一学科中,“秩”几乎算是一个难的概念了,它的难点在于“秩”有两个定义,一个是矩阵的秩,一个是向量组的秩。所谓矩阵的秩,指的是矩阵阶非零子式的阶数,而向量组的秩指的是向量组的极大线性无关组中向量的个数。
那这两个秩之间有什么联系呢?其实,要回答这个问题,我们可以从矩阵与向量之间的联系入手。在学习向量的概念时,我们已经提及过,向量其实就是一个特殊的矩阵—— 维行向量是一个n行1列的矩阵,而 维列向量是一个n行1列的矩阵。另一方面,矩阵也可以写成向量的形式,若将一个矩阵 按行分块,可以将其写成一个列向量的形式:
所以,对于一个矩阵,我们可以从三个角度去分析它的秩。第一,就是矩阵的秩,它表示的是矩阵非零子式的阶数;第二,是矩阵的行秩,指的是矩阵的行向量组的极大线性无关组中向量的个数;第三,矩阵的列秩,指的是矩阵的列向量组的极大线性无关组中向量的个数。
关于这三个秩的关系,我们有一个定理:矩阵的行秩等于列秩且等于矩阵的秩。
从这个定理可知,矩阵的这三个秩是相同的,明确这一点,对我们以后的学习有两个方面的意义。第一,既然这三个秩相同,那我们以后就可以对它们三个不加区分,因为,它们都表示矩阵的秩。第二,这个定理为我们解决与秩相关的问题打开了一个新的思路。以后,在求向量组的秩时,我们可以将其转化成求矩阵的秩,相应的,求矩阵的秩时,可以转化成求向量组的秩。比如,我们在实际计算矩阵的秩时,可以先将其初等行变换,化成阶梯型矩阵,然后看非零行,非零行的个数就等于矩阵的秩。之所以可以这样做,是因为,在阶梯型矩阵中,一个非零行对应着一个主元,而一个主元就对应着极大线性无关组中的一个向量,所以非零行的个数就等于极大线性无关组中向量的个数,而极大线性无关组中向量的个数就是矩阵的秩。所以,非零行的个数就等于矩阵的秩。
所以,学到这儿,我们会发现,矩阵的秩与向量组的秩其实就是同一个概念的两种不同表达形式,以后,在求矩阵的秩时,我们只需求矩阵的秩、行秩、列秩三个当中的任何一个就可以了。
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