再举两例如下:
例如一号仓库有20吨货物,二号仓库有30吨货物,其他仓库存货照样如前,那么应该往哪个仓库集中呢?首先仍应把一号仓库的20吨货物运往二号仓库集中,然后再把五号仓库的40吨货物也运往二号仓库集中,这样运费最少。
又如一号仓库有30吨货物,二号仓库有20吨货物,其他仓库存货仍然如前,那么应该往哪个仓库集中呢?先把一号仓库的30吨货物运往二号仓库集中,再把五号仓库的40吨货物也运往二号仓库集中,这样运费最省。(想想为什么?)
还有一点值得注意,在决定货物往何处集中时,起决定作用的是货物的重量,至于距离仅仅是为了计算运费。如果把本题中各个仓库之间的距离换成另外一些数值,仍应该把货物集中到五号仓库。
本题可以推广为一般命题:“在一条公路上有n个仓库,它们分别存货a1吨、a2吨、…、an吨,现在需要把所有的货物集中存放在一个仓库里,应该选取哪个仓库可以使总运输费最少?”它的解法将涉及到一次函数的知识,同学们在学过初三代数之后就会完全明白了。
例4 189米长的钢筋要剪成4米或7米两种尺寸,如果剪法最省材料?
分析 显然无残料的剪法是最优方案,于是考虑二元一次不定方程的整数解问题。
解:设4米长的剪x根,7米长的剪y根,依题意列方程
4x+7y=189
根据倍数分析法可知
7?x(即x是7的倍数)
令x1=0,则7y=189,解出y1=27;
x2=7,则7y=161,解出y2=23;
x3=14,则7y=133,解出y3=19;
x4=21,则7y=105,解出y4=15;
x5=28,则7y=77,解出y5=11;
x6=35,则7y=49,解出y6=7;
x7=42,则7y=21,解出y7=3。
因此,有七种剪法都是最省材料的。
说明:本例是最简单的下料问题,属于“线性规划”的范畴。线性规划是运用一次方程(组)、一次函数来解决规划问题的数学分支,规划论研究的问题主要有两类:一类是确定了一项任务,研究怎样精打细算使用最少人力、物力和时间去完成它;另一类是在已有一定的人力、物力和财力的条件下,研究怎样合理调配,使它们发挥最大限度的作用,从而完成最多的任务。
例5 用10尺长的竹竿做原材料,来截取3尺、4尺长的甲、乙两种短竹竿各100根,至少要用去原材料几根?怎么截法最合算?
分析 不难想到有三种截法省料:
截法1:截成3尺、3尺、4尺三段,无残料;
截法2:截成3尺、3尺、3尺三段,残料1尺;
截法3:截成4尺、4尺两段,残料2尺。
由于截法1最理想(无残料),因此应该充分应用截法1。考虑用原材料50根,可以截成100根3尺长的短竹竿,而4尺长的仅有50根,还差50根。于是再应该截法3,截原料25根,可以得到4尺长的短竹竿50根,留下残料:2×25=50(尺)
解:至少要用75根原材料,其中50根用截法1,25根用截法3,这样的截法最省料。
说明:一般说来,一定长度的条形材料要截取两种毛坯的下料问题,用本例的方法求解是比较省料的。这种解法的理论根要用到二元不等式及一次函数图像,有兴趣的读者可参阅有关书刊。
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