
说明:发生对流的调运方案不可能是最优方案,这个原则可以证明:

如上图,设A1、B2=a千米,B2B1=b千米,B1A2=c千米。如果从A1运1吨货物到B1,同时又从A2运1吨货物到B2,那么在B1B2之间A1的物资从西向东运输,A2的货物从东向西运输,两者发生对流,于是这样调动的总吨千米数为:
(a+b)+(b+c)=a+c+2b.
而如果从A1运1吨货物到B2,同时从A2运1吨货物到B1,则运输总吨千米数为a+c,显然
a+c<a+c+2b.
例3 在一条公路上每隔100千米有一个仓库(如下图左),共有5个仓库。一号仓库存有10吨货物,二号仓库有20吨货物,五号仓库存有40吨货物,其余两个仓库是空的。现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里,如果每吨货物运输1公里需要0.5元运输费,那么最少要多少运费才行?

分析 欲使花费的运输费最少,关键在于运输的货物和路程尽可能少。实际经验告诉我们一个原则——“小往大处靠”。下面就以两地调运问题为例加以计算验证:如上图右,在公路上A、B两地各有10吨、15吨麦子,问打麦场建在何处运费最少?

设打麦场建在C点,则总运费是(假定每吨小麦运输1千米的费用是a元):
W=10×a×AC+15×a×BC
=10a×AC+10a×BC+5a×BC
=10a×AB+5a×BC
上式中10a×AB是固定的值,不随C点的选取而改变;只有5a×BC随BC的变化而改变,若BC越小,则W也越小。当BC=0时,即C点与B点重合时,W的值最小。因此打麦场建在B点时总运费是10a×AB(元)最少。显然当打麦场建在AB线段之外时,总运费都大于10a×AB(元)。
解:根据“小往大处靠”的原则,先把一号仓库的10吨货物送往二号仓库集中,需运费:
10×0.5×100=500(元)
这时可以认为二号仓库有30吨货物,而五号仓库有40吨货物,于是又应把二号仓库的30吨货物运往五号仓库集中,需运费:
30×0.5×300=4500(元)
所以,把货物集中存放在五号仓库时所花运费最少,需要500+4500=5000(元)。
说明:“小往大处靠”的原则也不是一成不变的,具体问题还要具体分析。
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