行测备考：理解文氏图，搞定容斥问题进入阅读模式

2.不重不漏

(1)如果我们用A+B+C来计算有至少喜欢一种课程的人数的话，蓝色部分即被计算了两次，要扣除一次做到不重复;黑色部分即被计算了三次，要扣除两次做到不重复。通常我们用M表示④区域，即三种课程都不喜欢的人。

即得到

A+B+C-只喜欢两种课程的人-2*喜欢三种课程的人+M=I(全班人数)

(2)若题目中只给了A、B、C和同时喜欢AB、同时喜欢BC、同时喜欢AC的人和同时喜欢ABC的和都不喜欢的人数。我们可以表示成：

A+B+C-A⋂B-A⋂C-B⋂C+A⋂B⋂C+M=I

因为A⋂B⋂C在被计算了三次，在中被减掉了三次，相当于没有纳入计算，要加回来。

容斥极值问题是问多个集合的全部集合共同交集的最小值(A⋂B、A⋂B⋂C的最小值)。我们直接记忆公式：

1、两者容斥极值:(A⋂B)min = A+B-I

2、三者容斥极值(A⋂B⋂C)min = A+B+C-2I

以此类推可得其他容斥问题极值：

四者容斥极值：(A⋂B⋂C⋂D)min = A+B+C+D-3I

1.一个班级40人喜欢美术的有35人，喜欢音乐的有34人，喜欢体育的15人。请问同时喜欢美术、体育、音乐的人最多有多少?最少有多少?

一、最多

若要使同时喜欢三项的人最多，那就尽量让他们出现兴趣出现重叠。那让人数最少的喜欢体育的人全部喜欢音乐，此时15人同时喜欢体育和音乐。再让这些人也全部喜欢美术。此时同时喜欢三项的人最多，即15人。

其实没有其他限定条件是，(A⋂B⋂C)max即为三者中最小的一个。

二、最少

代入公式中：(A⋂B⋂C)min=35+34+15-2*40=4人

容斥问题整体比较简单，出题空间较小。无论考生基础好坏，在理解概念后，再做适量的练习题加深理解巩固知识后都可以掌握此类题型的题目。做到考场不因容斥题型而失分。在前期做题时，一定要多画图，帮助解题和理解容斥类题型。做了一定题目后可能做到“纸上无图，心中有图”的境界后，定能快速解决这一类型的所有题目。