第三步:根据题意建立等量关系,根据把重复数的次数变为1次,或者说把重叠的面积变为一层,做到不重不漏的原则。
I=A+B+C-O-P-Q-2X+Y,O+P+Q=A+B+C-2X+Y-I=89+47+63-2×24+20-125=尾数是6
结论:三者容斥问题,画图之后可知,三个圆相交的地方有1层、2层、3层三种情况,当将三个集合相加的时候,2层和3层区域分别多计算一次和两次,故若想求全集,需要将重叠区域减掉,故三者容斥问题的公式为:
I=A+B+C-O-P-Q-2X+Y
(I表示全集,A、B、C代表三个集合,O、P、Q表示两个只有两层的区域,X表示三层的区域,Y代表圆之外的部分)
第二种三者容斥问题,即容斥极值问题:
①(A∩B) =A+B-I(I表示全集)
例:小明、小刚两人一起参加一次英语考试,已知考试共有100道题,且小明做对了68题,小刚做对了58题。问两人都最对的题目至少有几题?
②(A∩B∩C) =A+B+C-2I
例:小明、小刚和小红三人一起参加一次英语考试,已知考试共有100道题,且小明做对了68题,小刚做对了58题,小红做对了78题。问三人都最对的题目至少有几题?
③(A∩B∩C∩D) =A+B+C+D-3I
依此类推……
中公教育相信考生们通过以上讲解基本上能够全面把握容斥问题,无论是文科考生还是理工科考生,都可以顺利解答出来。
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