2.容斥原理2——三个集合的容斥原理
如果被计数的事物有A、B、C三类,那么,将A、B、C三个集合的元素个数相加后发现两两重叠的部分重复计算了1次,三个集合公共部分被重复计算了2次。
如图所示,灰色部分A∩B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、C∩A-A∩B∩C都被重复计算了1次,黑色部分A∩B∩C被重复计算了2次,因此总数A∪B∪C=A+B+C-(A∩B-A∩B∩C)-(B∩C-A∩B∩C)-(C∩A-A∩B∩C)-2A∩B∩C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。即得到:
公式:A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C

总数=三个圆内的-重合两次的+重合三次的
【例2】某班有学生45人,每人都参加体育训练队,其中参加足球队的有25人,参加排球队的有22人,参加游泳队的有24人,足球、排球都参加的有12人,足球、游泳都参加的有9人,排球、游泳都参加的有8人,问:三项都参加的有多少人?
参加足球队→A,参加排球队→B,参加游泳队→C,足球、排球都参加的→A∩B,足球、游泳都参加的→C∩A,排球、游泳都参加的→B∩C,三项都参加的→A∩B∩C。三项都参加的有A∩B∩C=A∪B∪C-A-B-C+A∩B+B∩C+C∩A=45-25-22-24+12+9+8=3人。
3.用文氏图解题
文氏图又称韦恩图,能够将逻辑关系可视化的示意图。从文氏图可清晰地看出集合间的逻辑关系、重复计算的次数,最适合描述3个集合的情况。
【例3】某班有50 位同学参加期末考试,结果英文不及格的有15 人,数学不及格的有19 人,英文和数学都及格的有21 人。那么英文和数学都不及格的有( )人。
A.4 B.5 C.13 D.17
中公解析:如图所示,按英文及格、数学及格画2个圆圈,根据题干条件确定它们重叠。

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