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利用“中国剩余定理”巧解2018山东公务员考试行测数学题

2018-01-08 10:37:52来源:中公教育 郭炳春

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在近年来的国家公务员考试、各地方省考中都会出现一类题型,考查中国剩余定理,碰到此类问题,大部分同学可能采用代入法,可解决部分题目,中公教育专家认为,若能明确解题思路,就可达至秒杀速度,就必须明确题干特征和解题方法。

一千多年前的《孙子算经》中,有这样一道算术题:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?这就是我们所知中国剩余定理。

一般剩余问题的通用形式:一个数除以a余x,除以b余y,除以c余z,其中a、b、c两两互质,求满足该条件的最小数。

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应用类型:

(1)余同加余:题干出现余数相同,即x=y=z,则满足的数是[a、b、c]n+x,[a、b、c]表示为a、b、c最小公倍数。

(2)差同减差:题干出现每组除数和余数差相同,即a-x=b-y=c-z,则满足的数是[a、b、c]n-(a-x)。

(3)和同加和:题干出现每组除数和余数和相同,即a-x=b-y=c-z,则满足的数是[a、b、c]n+(a-x)。

(4)逐步满足法:不存在上述情况下,从最大量开始尝试。

以下结合例题,讲解如何利用剩余定理解题。

【例1】:三位运动员跨台阶,台阶总数在 100-150 级之间,第一位运动员每次跨 3 级台阶,最后一步还剩 2 级台阶。第二位运动员每次跨 4 级台阶,最后一步还剩 3 级台阶。第三位运动员每次跨 5 级台阶,最后一步还剩 4 级台阶。问:这些台阶总共有多少级?

A.119 B.121 C.129 D.131

【答案】 A。

【中公解析】由题干的差相同,则若多 1 级台阶,则运动员每次跨 3、 4、 5 级,均正好跨完所有台阶,即台阶数加 1 是 3、 4、 5 的倍数,所以台阶数可表示为 60n-1( n 为正整数),结合选项可知答案为 A。当然此题也可代入。

【例2】:三位数的自然数P满足:除以 3 余 2,除以 7 余 3,除以 11 余 4,则符合条件的自然数 P 有多少个?

A. 5 B.4 C.6 D.7

【答案】 B。

【中公解析】此题不满足前面三种形式,故采用逐步满足法,先从最大的除数开始满足,满足除以 11 余 4 的最小数为 15,则11n+15 都满足这一条件,当 n=0、 1、 2、 3 时,均不满足除以 7 余 3,当 n=4 时, 11n+15=59,满足除以 7 余 3, 11 和 7 的最小公倍数是 77,则 77n+59 都满足这两个条件。当 n=0 时, 59满足除以 3 余 2, 77 和 3 的最小公倍数是 231,则 231n+59 满足以上三个条件。又因为P为三位数,所以 n 只能取 1、 2、 3、 4,即符合条件的自然数P有 4 个,选择 B。

中公教育专家认为,对于此类问题进行适当的转化,使之变成大家常见的形式,在解答数学运算时有部分可用代入法,但却不是达到秒杀之速度,所以就需认清题干,使用技巧,快速解题,相信这类题型将是是大家备考路上乐于见到的。


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(责任编辑:王冰冰)
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