5、定性、稳定性理论简介
(1) 了解稳定性相关概念;
(2) 理解简单的李雅普诺夫函数的构造方法、正定函数、负定函数的定义;
(3) 掌握李雅普诺夫函数的定义,通过构造简单的李雅普诺夫函数,利用相关定理,判断零解的稳定性。
二、数值分析部分
1、绪论
(1) 了解计算机算法的特性;
(2) 理解误差的定性分析与避免误差的危害、数值运算的误差估计、算法的数值稳定性;
(3) 掌握误差的来源与分类、误差与有效数字;
2、矩阵分析基础
(1) 建立线性空间、赋范线性空间、内积空间的概念;
(2) 掌握向量和矩阵的范数、向量和矩阵序列的极限;
(3) 掌握内积空间中的正交系、矩阵的三角分解、正交分解、奇异值分解;
(4) 掌握施密特(Schmidt) 正交化过程、正交多项式;
3、数值逼近
(1) 了解几种常用插值法的优缺点,并能够根据实际问题选择适当的插值方法进行函数逼近;
(2) 了解三角多项式逼近及快速傅立叶变换;
(3) 理解插值法的基本原理;掌握用拉格朗日插值公式、牛顿插值公式进行插值的方法及其误差估计;
(4) 理解函数逼近、有理逼近的概念;
(5) 掌握分段低次插值、样条插值、埃尔米特插值及其插值余项和误差估计方法;
(6) 掌握最佳平方逼近方法、曲线拟合的最小二乘法;对于给定的一组数据,能够根据最小二乘原理在某一函数类中选择函数,与其所给数据组拟合来解决一些实际问题。
4、线性方程组的数值解法
(1) 了解研究求解线性方程组的数值方法分类及直接法的应用范围;
(2) 了解极小化方法:最速下降法、共轭梯度法;
(3) 掌握线性方程组的直接解法:高斯主元消去法、LU三角分解法、平方根法、追赶法与三对角方程组的解法;
(4) 理解矩阵的谱半径、矩阵的条件数等概念,并能利用条件数判别方程组是否病态以及对方程组的直接方法的误差进行估计;
(5) 掌握线性方程组的经典迭代方法:雅可比迭代法、高斯-塞德尔迭代法及SOR方法的计算分量形式、矩阵形式以及迭代法的收敛性判定方法;
(6) 了解线性方程组的Krylov子空间方法。
5、非线性方程组求根
(1) 了解求解非线性方程和非线性方程组的常用数值方法;
(2) 理解迭代法的基本原理、迭代过程的收敛性及收敛速度、迭代过程的加速原理;
(3) 掌握求解非线性方程组的不动点迭代法、牛顿法、弦截法及其收敛性;
6、数值积分与数值微分
(1) 了解数值微分方法的基本思想、高斯-勒让德等求积公式、多重积分、数值微分公式;
(2) 理解数值积分公式的一般形式及导出方法、理解自适应积分方法;比较牛顿-柯特斯求积公式与高斯求积公式的异同点;理解龙贝格算法;
(3) 掌握代数精度的概念、插值型的求积公式、几种低阶求积公式的使用及余项分析。
7、矩阵特征值问题
(1) 了解特征值的估计、正交变换的Givens和Householder变换、矩阵的QR法分解;
(2) 理解幂法和反幂法的原理和解决的对象及其加速方法, 矩阵的QR法分解的原理和变形和同时过程;
(3) 掌握幂法、反幂法和基本的QR法。
第三部分 有关说明
1、命题说明(可包含题型设计):
(1) 分值比例:试卷满分为150分,考试时间180分钟。试卷内容包括:数值分析 75分;常微分方程 75分。
(2) 题型分布:简答题,约40%;计算、证明题,约60%。
2、参考书目:
(1) 东北师范大学微分方程教研室. 常微分方程. 北京:高等教育出版社,2005.
(2) 李庆杨. 数值分析. 北京:清华大学出版社,2008.
3、其他规定:考试方式为闭卷笔试,总分150分,考试时间为180分钟。
4、本科目考试不得使用计算器。
原标题:南京信息工程大学2022年硕士研究生招生考试自命题科目考试大纲
文章来源:https://yjs.nuist.edu.cn/info/1015/4713.htm
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