(六)多元函数积分学
考试内容
二重积分、三重积分的概念及性质,二重积分与三重积分的计算和应用,两类曲线积分的概念、性质及计算,两类曲线积分之间的关系,格林(Green)公式,平面曲线积分与路径无关的条件,已知全微分求原函数,两类曲面积分的概念、性质及计算,两类曲面积分之间的关系,高斯(Gauss)公式,斯托克斯(Stokes)公式,散度、旋度的概念及计算,曲线积分和曲面积分的应用。
考试要求
1. 理解二重积分、三重积分的概念,掌握重积分的性质。
2. 熟练掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标),会计算三重积分(直角坐标、柱面坐标、球面坐标),掌握二重积分的换元法。
3. 理解两类曲线积分的概念,了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。熟练掌握计算两类曲线积分的方法。
4. 熟练掌握格林公式,会利用它求曲线积分。掌握平面曲线积分与路径无关的条件。会求全微分的原函数。
5. 理解两类曲面积分的概念,了解两类曲面积分的性质及两类曲面积分的关系。熟练掌握计算两类曲面积分的方法。
6. 了解散度、旋度的概念,并会计算。
(七)无穷级数
考试内容
常数项级数及其收敛与发散的概念,收敛级数的和的概念,级数的基本性质与收敛的必要条件,几何级数与p级数及其收敛性,正项级数收敛性的判别法,交错级数与莱布尼茨定理,任意项级数的绝对收敛与条件收敛,函数项级数的收敛域、和函数的概念,幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)和收敛域,幂级数在其收敛区间内的基本性质,简单幂级数的和函数的求法,泰勒级数,初等函数的幂级数展开式,函数的幂级数展开式在近似计算中的应用,函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数,狄利克雷(Dirichlet)定理, 函数在[-l,l]上的傅里叶级数,函数在[0,l]上的正弦级数和余弦级数。
考试要求
1. 理解常数项级数的收敛、发散以及收敛级数的和的概念,掌握级数的基本性质及收敛的必要条件
2. 掌握几何级数与p级数的收敛与发散情况。
3. 熟练掌握正项级数收敛性的各种判别法。
4. 熟练掌握交错级数的莱布尼茨判别法。
5. 理解任意项级数的绝对收敛与条件收敛的概念,以及绝对收敛与条件收敛的关系。
6. 理解幂级数的收敛域、收敛半径的概念,掌握幂级数的收敛半径及收敛域的求法。
7. 了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质(和函数的连续性、逐项微分和逐项积分),会求一些幂级数在收敛区间内的和函数,并会由此求出某些数项级数的和。
8. 了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。
9. 掌握一些常见函数如ex、sin x、cos x、ln(1+x)和(1+x)α等的麦克劳林展开式,会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。
10. 会利用函数的幂级数展开式进行近似计算。
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