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中公讲师浅析2016考研线性代数二次型(二)进入阅读模式

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2015-07-31 09:49:26| 来源:考研考试网

将二次型转换成标准形的方法有很多,除了正交变换法之外,还有配方法。对于同一个二次型,采用不同的变换方法得到的标准形是不一样的。但是,不同的标准形中包含的正项个数与负项个数是相同的。

我们将标准形中正项个数称为正惯性指数,负项个数称为负惯性指数。对于一个实二次型,不管怎样的坐标变换,将其化成标准形,它的正惯性指数与负惯性指数都是不变的,这就是惯性定理。一个二次型的标准形中正、负项的系数是多少并不重要,相比之下,我们更关注的是这些系数中正项与负项的个数。因此,对于一个二次型来说,我们关注的不是它的合同标准形是怎样的,而是关心它的正、负惯性指数是多少。既然如此,我们就在二次型的标准形的基础上,继续化简,得到一个只保留正、负惯性指数的形式,即二次型的规范型。

将标准形中的正项系数化为1,负项系数化为-1,就可以得到二次型的规范型。 若一个二次型合同变换变成一个规范型,就将其称为该二次型的合同规范型。

由于,任何一个二次型都可以化成标准形,然后再根据惯性定理得到其合同规范型,所以任何一个二次型都可以化成合同规范型,并且合同规范型是可以确定的。

由此,我们可以得到两个二次型合同的充要条件:两个n元二次型合同的充要条件就是它们的正、负惯性指数相同。因为,每一个二次型都可以合同变换变成合同规范型,若两个二次型合同,他们的合同规范型是相同的,所以他们的正、负惯性指数是相同的。由于,正、负惯性指数其实是正、负特征值的个数,所以,以后我们在判断两个二次型是否合同时,只需判断这两个二次型的正、负特征值的个数是否相同就可以了。

接下来,我们再介绍一种特殊的二次型——正定二次型。

若对任意的非零向量X,都有,这样的二次型被称为正定二次型。从考试角度来讲,正定二次型在这一块的考点只有一个,就是正定二次型的判定。总的来说,二次型的判定方法有三种,每一种有其适用范围。

 

第一种方法,顺序主子式法。若二次型矩阵的所有顺序主子式均大于零,则该二次型正定。所谓顺序主子式是指,二次型矩阵的前 行,前 列元素组成的 阶行列式。当二次型矩阵中的元素能够写出来时,可以用顺序主子式法。

第二种方法,特征值法。若二次型矩阵的所有特征值均大于零,则二次型正定。若所给的二次型是抽象的,并且题目与特征值或行列式相关时,可以采用特征值法。

第三种方法,定义法。当所给的二次型是抽象的,并且第二种方法不能用时,就可以采用定义法。只要对任意的非零向量X,都有,则二次型正定。

(责任编辑:ly6504)
THE END  

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