二次型的知识,我们在基础阶段是分成三个模块去学习的,第一个模块是二次型的概念及合同标准形,第二个模块是惯性指数与合同规范形,第三个模块是正定二次型。本文先来介绍第一个模块,即二次型的概念及合同标准形。
所谓二次型,指的就是二次齐次多项式,根据矩阵乘法的运算法则,可以将一个二次型写成:
。其中,A称为二次型的矩阵,矩阵A的主对角元等于对应平方项的系数,其他位置的元素等于相应的交叉项系数的一半。由此,我们得到的二次型的矩阵其实是一个实对称矩阵。所以,实对称矩阵的性质对二次型矩阵也适用。
对于一个二次型而言,基本的要求就是能够写出它的矩阵,在涉及二次型的题目当中,我们的第一步就是把它的矩阵写出来,在此基础上再做运算。比如,要求二次型的秩,第一步,就是把二次型的矩阵A写出来,而矩阵A的秩,就等于二次型的秩。

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