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教师招聘中学数学备考指导――函数对称性的探究进入阅读模式

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2014-05-27 17:29:35| 来源:中公教育

二、不同函数对称性的探究

定理4、函数y = f (x)与y = 2b-f (2a-x)的图像关于点A (a ,b)成中心对称。

定理5、①函数y = f (x)与y = f (2a-x)的图像关于直线x = a成轴对称。

②函数y = f (x)与a-x = f (a-y)的图像关于直线x +y = a成轴对称。

③函数y = f (x)与x-a = f (y + a)的图像关于直线x-y = a成轴对称。

定理4与定理5中的①②证明留给读者,现证定理5中的③

设点P(x0 ,y0)是y = f (x)图像上任一点,则y0 = f (x0)。记点P( x ,y)关于直线x-y = a的轴对称点为P‘(x1, y1),则x1 = a + y0 , y1 = x0-a ,∴x0 = a + y1 , y0= x1-a 代入y0 = f (x0)之中得x1-a = f (a + y1) ∴点P‘(x1, y1)在函数x-a = f (y + a)的图像上。

同理可证:函数x-a = f (y + a)的图像上任一点关于直线x-y = a的轴对称点也在函数y = f (x)的图像上。故定理5中的③成立。

推论:函数y = f (x)的图像与x = f (y)的图像关于直线x = y 成轴对称。

三、三角函数图像的对称性列表

函数对称中心坐标对称轴方程

y = sin x( kπ, 0 )x = kπ+π/2

y = cos x( kπ+π/2 ,0 )x = kπ

y = tan x(kπ/2 ,0 )无

注:①上表中k∈Z

②y = tan x的所有对称中心坐标应该是(kπ/2 ,0 ),也有相关专家认为y = tan x的所有对称中心坐标是( kπ, 0 ),这明显是错的。

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(责任编辑:zhangting)
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